Salve, salve, galerinha linda do EXQUAD! O tema de hoje do nosso blog é sequências e progressão aritmética. Quer aprender de vez este assunto? Então cola gente que é sucesso, bbs!
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Então, chuchus, uma sequência pode ser definida na Matemática como uma função em que seu domínio é o conjunto N*, dos naturais não nulos. Vocês devem estar se perguntando: Como assim, teacher?
Calma, maravilhoses! Veja um exemplo que vai nos ajudar a entender essa ideia:
Vocês acompanharam o Campeonato Brasileiro do ano passado? Pois bem, quem acompanhou deve lembrar pelo menos a classificação final dos primeiros colocados, não é mesmo?
Essa foi a classificação final para os 10 primeiros colocados. Então, essa classificação é um exemplo de uma sequência. Cada um dos times está associado a uma posição que é um número natural não nulo. Observe ainda que não podemos alterar as posições desses times, sem alterar a classificação. Por exemplo, se trocássemos a posição do Flamengo com o Internacional, o Flamengo deixaria de ter sido o campeão e quem assumiria esse posto seria o time colorado.
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Pensando assim, podemos dizer que o primeiro termo dessa sequência, que simbolizaremos por a1, será o Flamengo, o segundo termo, a2, será o Internacional, o terceiro termo, a3, será o Atlético Mineiro, e assim sucessivamente. Vejam que simbolizamos um termo de uma sequência deixando explícita a sua posição dentro da sequência, ou seja, o termo que ocupa a posição n será representado por an.
Bem, mas vamos deixar um pouco o futebol de lado e vamos pensar de um modo mais amplo. As sequências podem surgir nas mais diversas situações e seus termos não precisam necessariamente ser números. No exemplo da classificação do Brasileirão 2020, os termos da sequência são times de futebol.
Entretanto, as sequências numéricas são as mais frequentemente utilizadas em provas, vestibulares, bem como no ENEM. Entre essas sequências numéricas, duas se destacam: as progressões aritméticas (PA) e as progressões geométricas (PG).
As progressões aritméticas são sequências numéricas em que cada termo, a partir do segundo, é o resultado do termo anterior somado ou subtraído de um mesmo número, que chamaremos de razão, simbolizada por r. Por exemplo:
Essas três sequências são progressões aritméticas, pois cada termo seguinte é o anterior somado ou subtraído de um mesmo número. Na sequência A, o número somado é 3. Portanto, dizemos que a razão da sequência A é r = 3. Na sequência B, o número subtraído. Desse modo, dizemos que a razão da sequência B é r = – 5. Já a sequência C é constante. Sendo assim, podemos dizer que estamos somando 0 (zero) sucessivamente. Então a sequência C tem razão r = 0.
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Essa razão pode ser calculada subtraindo qualquer termo do seu termo anterior. Assim, a razão da sequência A, pode ser calculado como 5 – 2, ou 8 – 5, ou ainda 11 – 8 e assim por diante.
O importante é perceber que, independentemente de qual seja a progressão aritmética, ela sempre terá razão! Assim, nunca queira discutir com ela! 😂 😂 😂
Passada a sessão de piadas nerds, vamos seguir em frente! Um tópico que é de extrema relevância para o estudo das progressões aritméticas é o que chamamos de termo geral de uma PA. O termo geral de uma PA é uma relação de qualquer termo dessa PA com o primeiro termo a1 e sua razão r. Nas progressões aritméticas, o termo geral, representado por an, é dado por:
Esse termo geral tem diversas utilidades em problemas de PA: calcular um termo da sequência, calcular a quantidade de termos, calcular a posição de um termo, calcular a razão.
Vamos a um exemplo prático, bb? Você já tentou construir um castelo de cartas? É um negócio um pouquinho complicado, mas o visual fica bem legal depois de feito.
A 1ª fileira do castelo tem 3 cartas (perceba que tem uma na base que apoia as duas de cima), a 2ª fileira tem 6 cartas, a 3ª fileira tem 9 cartas e a 4ª fileira teria 12 cartas, mas, pelo fato de não haver necessidade de cartas na fileira mais abaixo, essa última terá 4 cartas a menos, sendo formada somente por 12 – 4 = 8 cartas.
Se continuássemos formando castelos maiores, com mais e mais fileiras, a quantidade de cartas em cada uma das fileiras formaria a PA (3, 6, 9, 12, 15, …).
O termo geral da PA entra exatamente aí. Se pudéssemos construir um castelo de cartas com a quantidade de fileiras que quiséssemos, quantas cartas teria a nª fileira? A PA formada tem a1 = 3 e razão também igual a 3. Assim:
Lembrem-se de que, se não colocarmos cartas na base desse castelo, a última fileira terá n cartas a menos.
Mas esse exemplo até que foi relativamente fácil, já que todos os termos da PA são múltiplos de 3. Mas e se isso não ocorrer? Por exemplo, qual será o termo geral da PA (50, 54, 58, 62, …)?
Nesse novo exemplo, temos uma PA com a1 = 50 e r = 4. Assim, o termo geral será:
Dessa maneira, podemos descobrir qualquer termo dessa PA, apenas sabendo a sua posição n. Por exemplo, o 50º termo será a50 = 4 . 50 + 46 = 200 + 46 = 246. Legal, não é mesmo? 👍
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Agora vamos dificultar as coisas! E qual será a soma de todos esses 50 primeiros termos?
Calma, vestibulandes! Essa o menino Gauss resolveu quando tinha apenas 10 anos. Para quem não sabe, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) foi um matemático, físico e astrônomo alemão. Considerado um dos maiores matemáticos da história. Ele foi desafiado pela sua professora a calcular a soma de todos os números naturais de 1 até 100. Na época ele tinha apenas 10 anos.
Para surpresa da professora, em poucos segundos Gauss deu a resposta: 5050. Mas como ele fez essa conta com tamanha rapidez? Usando uma calculadora? Claro que não, né!?
Ele fez o seguinte: somando 1 + 100, obtemos 101; somando 2 + 99, obtemos 101; somando 3 + 98, também obtemos 101; seguindo somando dessa forma até 50 + 51, que também obtemos 101.
Desse modo, somando os termos de dois em dois, teremos 50 parcelas nessa soma, e todas iguais a 101. Assim, a soma de todos os termos será 50 x 101 = 5.050.
Vocês devem estar se perguntando também: “Mas o que isso tem a ver com o nosso problema?” Queremos descobrir a soma dos 50 termos da PA (50, 54, 58, …, 238, 242, 246), não é mesmo? Então lá vai:
Somando 50 + 246, obtemos 296, Se somarmos, 54 + 242, obtemos 296. O mesmo ocorre somando 58 + 238. Assim, somando de dois em dois termos, os 50 termos da PA se tornarão 25 parcelas iguais a 296. Portanto, a soma será 25 x 296 = 7.400.
De um modo geral, a soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela expressão:
E essas ideias todas vieram à mente de Gauss com apenas 10 aninhos de idade.
Bem, é isso, galerinha! Lembrem-se de que questões de progressão aritmética e sequências aparecem com uma frequência relevante nas provas do ENEM, além de serem úteis em alguns outros assuntos de Matemática como Função de 1º grau, por exemplo, bem como alguns assuntos de Física.
Ahh, 77 + 33 é igual a 110, ok? 🙈
