ENEM 2019: GEOMETRIA PLANA PARTE 2 – TEOREMA DE TALES

A nossa segunda parte de Geometria Plana fala sobre o Teorema de Tales, que é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais e foi desenvolvida pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto, de onde vem o nome. Leia a primeira parte aqui.

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Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias.

 

Se três (ou mais) retas paralelas são cortadas por duas transversais, então essas paralelas determinam, nas transversais, segmentos proporcionais.

 

ilustração matematica enem

 

QUESTÕES ENEM

 

1. (ENEM PPL 2016) Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90º com a trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura.

 

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Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são (3;3), o centro da caçapa de destino tem coordenadas (6;0) e a abscissa da bola branca é 0,5, como representados na figura.

 

Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era

 

a) 1,3.

b) 1,5.

c) 2,1.

d) 2,2.

e) 2,5.

 

2. (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2016) Pretende-se construir um mosaico com o formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, sendo duas delas triângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A figura apresenta cinco mosaicos formados por três peças.

 

ilustração matematica enem

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Na figura, o mosaico que tem as características daquele que se pretende construir é o

 

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

 

3. (ENEM 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

 

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Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

 

a) 1m

b) 2m

c) 2,4m

d) 3m

e) 2√6m

 

4. (ENEM 2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

 

ilustração matematica enem

 

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde

 

a) a mesma área do triângulo AMC.

b) a mesma área do triângulo BNC.

c) a metade da área formada pelo triângulo ABC.

d) ao dobro da área do triângulo MNC.

e) ao triplo da área do triângulo MNC.

 

5. (ENEM CANCELADO 2009) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

 

ilustração matematica enemilustração matematica enem

 

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça.

 

Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’ respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.

 

A razão entre b e a será dada por

 

a) b/a = d’/c

b) b/a = 2d/3c

c) b/a = 3d’/2c

d) b/a = 2d’/3c

e) b/a = 2d’/c

 

6. (ENEM 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.

 

A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é

 

a) 1,16 metros.

b) 3,0 metros.

c) 5,4 metros.

d) 5,6 metros.

e) 7,04 metros.

 

RESOLUÇÃO: 

 

Questão 1: E

 

Considerando os dados do enunciado:

 

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Questão 2: B

 

  • O mosaico que possui as características daquele que se pretende construir é o 2. De fato, pois os triângulos 30º, 60º, 90º são congruentes e o triângulo 30º, 30º, 120º é isósceles.

 

  • No mosaico 1, o triângulo 30º, 30º, 120º é isósceles, mas os triângulos 30º, 60º, 90º não são congruentes.

 

  • No mosaico 3, os triângulos 22º, 68º, 90º são congruentes, mas o triângulo 44º, 46º, 90º não é isósceles.

 

  • Nos mosaicos 4 e 5, não é possível formar um triângulo retângulo com as três peças.  

 

Questão 3: C

 

É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,

 

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Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem

 

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Questão 4: E

 

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Questão 5: D

 

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Na figura o ΔABC ~ ΔADE, logo:

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como

 

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Temos,

 

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Questão 6: D

 

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