Enem 2019: Trigonometria no Triângulo Retângulo

Enem quase chegando e a produção de conteúdo aqui do Explicaê não para nunca! Tudo pra deixar você preparadíssimo pro exame e outros vestibulares, claro!

O assunto da vez é a trigonometria no triângulo retângulo que permite determinar os elementos de um triângulo retângulo quando eles não são dados no problema. Esse elementos são: lados e ângulos.

Vamos entender um pouco mais sobre o assunto?

1. Relações métricas no triângulo retângulo

• Um triângulo retângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos for reto (igual a 90º). Considere o triângulo retângulo ABC a seguir:

• O maior lado desse triângulo é chamado de hipotenusa. É o lado que se opõe ao ângulo de 90º e será representado por a;

• Os dos que formam o ângulo de 90º serão chamados de catetos serão representados por b e c;

• A altura relativa à hipotenusa será representada por h;

• A projeção do cateto b sobre a hipotenusa será representada por m;

• A projeção do cateto c sobre a hipotenusa será representada por n;

• É importante perceber que os três triângulos da figura anterior são semelhantes e a partir das relações de semelhança podemos concluir que:

h² = mn          b² = a.m         m = c.m         a² = b² + c²         h = b.c         c² = a.n         h= b.n

OBSERVAÇÃO: 

• Das relações listadas acima, a mais importante a ser lembrada é , chamada de Teorema de Pitágoras. As demais podem ser concluídas usando relações de semelhança de triângulos.

• Chamamos de triângulo pitagórico um triângulo retângulo cujos lados são números inteiros. Entre eles, os mais famosos são formados pelos números 3, 4 e 5 (ou seus múltiplos) e por 5, 12 e 13 (ou seus múltiplos).

2. Relações trigonométricas no triângulo retângulo

• Considere o triângulo retângulo ABC a seguir.

• Dizemos que um cateto é adjacente a um ângulo quando ele forma este ângulo com a hipotenusa. Caso contrário ele será chamado de cateto oposto;

• Da figura anterior, perceba que em relação ao ângulo α, o cateto c é o adjacente e o cateto b é o oposto. Já em relação ao ângulo β, o cateto b é o adjacente e o cateto c é o oposto;

• Definimos, a partir disso, três relações trigonométricas para um ângulo θ.

Assim, teremos, com base na figura anterior:

sen α = b/a               cos α = c/a               tg α = b/c

sen β = c/a               cos β = b/a               tag β = c/b

OBSERVAÇÃO: 

Vale perceber que se α e β são os ângulos agudos de um triângulo retângulo então:

sen α = cos β               cos α = sen β               tg α = 1/tg β

• Vale ainda lembrar os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º).

Exercícios Resolvidos

1. (ENEM 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

a) 36√3

b) 24√3

c) 4√3

d) 36

e) 72

RESOLUÇÃO DA PRIMEIRA QUESTÃO:

Seja h a altura do cilindro.

Primeiro passo:

Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do cilindro (precisa apenas perceber a quantidade de linhas que ficaram no cilindro).

Segundo passo:

Logo o cateto adjacente ao ângulo de 30° mede 6.2π. 6/π = 72cm  e, portanto, temos tg 30° = h/72  ⇔ h = 24√3cm.

RESPOSTA: LETRA B

2. (ENEM LIBRAS 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.

Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha  metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo  e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo  metro, conforme mostra a figura.

O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.

Uma estimativa para o ângulo de inclinação  quando dado em grau, é tal que

a) 0 ≤ α < 1,0

b) 1,0 ≤ α < 15

c) 1,5 ≤ α < 1,8

d) 1,8 ≤ α < 2,0

e) 2,0 ≤ α < 3,0

RESOLUÇÃO: 

Essa é uma questão de análise do texto, o aluno precisaria apenas fazer uma análise detalhada dos dados oferecidos pelo texto:

Primeiro passo:

Analisando a tabela, sabemos que sen α = 1,8/60 ⇔ sen α = 0,03.

Segundo passo:

Portanto, de acordo com as informações da tabela, já que 0,03 representa na tabela um número entre  α ∈ [1,5; 1,8].

RESPOSTA: LETRA C

E aí, curtiu?

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