Enem 2019: Trigonometria no Triângulo Retângulo

Enem quase chegando e a produção de conteúdo aqui do Explicaê não para nunca! Tudo pra deixar você preparadíssimo pro exame e outros vestibulares, claro!

 

O assunto da vez é a trigonometria no triângulo retângulo que permite determinar os elementos de um triângulo retângulo quando eles não são dados no problema. Esse elementos são: lados e ângulos.

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Vamos entender um pouco mais sobre o assunto?

 

1. Relações métricas no triângulo retângulo

 

  • Um triângulo retângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos for reto (igual a 90º). Considere o triângulo retângulo ABC a seguir:

 

triangulo trigonometria enem

 

  • O maior lado desse triângulo é chamado de hipotenusa. É o lado que se opõe ao ângulo de 90º e será representado por a;

 

  • Os dos que formam o ângulo de 90º serão chamados de catetos serão representados por b e c;

 

  • A altura relativa à hipotenusa será representada por h;

 

  • A projeção do cateto b sobre a hipotenusa será representada por m;

 

  • A projeção do cateto c sobre a hipotenusa será representada por n;

 

formula triangulo enem

 

  • É importante perceber que os três triângulos da figura anterior são semelhantes e a partir das relações de semelhança podemos concluir que:

 

h² = mn          b² = a.m         m = c.m         a² = b² + c²         h = b.c         c² = a.n         h= b.n

 

OBSERVAÇÃO: 

  • Das relações listadas acima, a mais importante a ser lembrada é , chamada de Teorema de Pitágoras. As demais podem ser concluídas usando relações de semelhança de triângulos.

 

  • Chamamos de triângulo pitagórico um triângulo retângulo cujos lados são números inteiros. Entre eles, os mais famosos são formados pelos números 3, 4 e 5 (ou seus múltiplos) e por 5, 12 e 13 (ou seus múltiplos).

 

enem matematica vestibular

 

2. Relações trigonométricas no triângulo retângulo

 

  • Considere o triângulo retângulo ABC a seguir.

 

trigonometria matematica enem

 

  • Dizemos que um cateto é adjacente a um ângulo quando ele forma este ângulo com a hipotenusa. Caso contrário ele será chamado de cateto oposto;

 

  • Da figura anterior, perceba que em relação ao ângulo α, o cateto c é o adjacente e o cateto b é o oposto. Já em relação ao ângulo β, o cateto b é o adjacente e o cateto c é o oposto;

 

  • Definimos, a partir disso, três relações trigonométricas para um ângulo θ.

 

enem vestibular trigonometria

 

Assim, teremos, com base na figura anterior:

 

sen α = b/a               cos α = c/a               tg α = b/c

sen β = c/a               cos β = b/a               tag β = c/b

 

OBSERVAÇÃO: 

 

Vale perceber que se α e β são os ângulos agudos de um triângulo retângulo então:

 

sen α = cos β               cos α = sen β               tg α = 1/tg β

 

  • Vale ainda lembrar os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º).

 

enem vestibular seno cosseno

 

Exercícios Resolvidos

 

  1. (ENEM 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

 

vestibular-matematica-enem

 

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

a) 36√3

b) 24√3

c) 4√3

d) 36

e) 72

 

RESOLUÇÃO DA PRIMEIRA QUESTÃO:

 

Seja h a altura do cilindro.

 

Primeiro passo:

 

Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do cilindro (precisa apenas perceber a quantidade de linhas que ficaram no cilindro).

 

Segundo passo:

Logo o cateto adjacente ao ângulo de 30° mede 6.2π. 6/π = 72cm  e, portanto, temos tg 30° = h/72  ⇔ h = 24√3cm.

 

RESPOSTA: LETRA B

 

2. (ENEM LIBRAS 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.

Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha  metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo  e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo  metro, conforme mostra a figura.

 

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O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.

 

Ângulo  (Grau)Seno
0,00,0
1,00,017
1,50,026
1,80,031
2,00,034
3,00,052

 

Uma estimativa para o ângulo de inclinação  quando dado em grau, é tal que

a) 0 ≤ α < 1,0

b) 1,0 ≤ α < 15

c) 1,5 ≤ α < 1,8

d) 1,8 ≤ α < 2,0

e) 2,0 ≤ α < 3,0

 

RESOLUÇÃO: 

 

Essa é uma questão de análise do texto, o aluno precisaria apenas fazer uma análise detalhada dos dados oferecidos pelo texto:

Primeiro passo:

 

Analisando a tabela, sabemos que sen α = 1,8/60 ⇔ sen α = 0,03.

 

Segundo passo:

 

Portanto, de acordo com as informações da tabela, já que 0,03 representa na tabela um número entre  α ∈ [1,5; 1,8].

 

RESPOSTA: LETRA C

 

E aí, curtiu?

 

Comenta aqui embaixo que assunto você gostaria de ver por aqui no blog do Explicaê 🙂

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