Fala, galerinha do Explicaê! O tema dessa semana é TRIGONOMETRIA NOS TRIÂNGULOS. É um tema cobrado com certa frequência no ENEM, principalmente quando se refere a triângulos retângulos. Também é cobrado diversas vezes em vários conteúdos de Física. Então, vamos nessa? Vem comigo aprender esse assunto?

Inicialmente vamos relembrar o que é um TRIÂNGULO RETÂNGULO.

Um triângulo é dito retângulo quando possui um ângulo reto, ou seja, que tem medida igual a 90º. Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais: os lados que formam o ângulo de 90º são chamados de catetos, já o terceiro lado, que é oposto ao ângulo de 90º, é chamado de hipotenusa.

Assim que pensarmos em triângulo retângulo, devemos automaticamente lembrar do mais famoso dos teoremas matemáticos: o Teorema de Pitágoras. Esse teorema está relacionado à hipotenusa, que representaremos por a, e os catetos, que representaremos por b e c.

a² = b² + c²

Mas afinal, quando devemos usar o teorema de Pitágoras? Normalmente o teorema de Pitágoras é utilizado quando conhecemos dois lados de um triângulo retângulo e queremos encontrar o terceiro lado. Por exemplo:

Bem, quase isso, não é mesmo? 🤪 Aparentemente quem “resolveu” essa questão ainda não assinou a nossa plataforma.

A forma correta seria aplicar o teorema de Pitágoras da seguinte maneira:

x² = 3² + 4²

x² = 9 + 16

x² = 25

x = √25

x = 5

Por sinal, esse triângulo retângulo com lados medindo 3, 4 e 5 é um dos triângulos que mais aparecem em questões. Tanto que, quando aparece algo desse tipo, os alunos e as alunas da Explicaê nem fazem as contas pelo teorema de Pitágoras e já dizem direto a resposta.

Esses triângulos retângulos que possuem as medidas dos três lados sendo números inteiros são chamados de triângulos pitagóricos. Isso se deve ao fato de Pitágoras e seus seguidores da época terem a certeza de que tudo na natureza poderia ser escrito através de operações entre números inteiros; obviamente, sabe-se hoje que isso não é verdade e, por conta disso, existem os números irracionais.

Mas são muitos os exemplos de sequências de três números inteiros (a, b e c) que satisfazem o teorema de Pitágoras. Observe alguns deles:

Observe que, se um triângulo é pitagórico, sempre que multiplicamos os seus lados por uma constante, o novo triângulo formado também será pitagórico. Por exemplo, o triângulo pitagórico de lados medindo 3, 4 e 5. Quando multiplicamos seus lados por 2, originamos o triângulo de lados medindo 6, 8 e 10, que também é pitagórico; já multiplicando por 3, formamos o triângulo 9, 12 e 15, que também é pitagórico; e assim por diante.

Você seria capaz de encontrar (rapidamente) os valores de x e y nos triângulos retângulos a seguir?

Vejamos, no 2º triângulo, 8 = 4 x 2 e 10 = 5 x 2, assim, x = 3 x 2 = 6. Já no 3º triângulo, 12 = 3 x 4 e 20 = 5 x 4, assim, y = 4 x 4 = 16.

Outro ponto que devemos lembrar quando pensamos em um triângulo retângulo são as relações trigonométricas (ou razões trigonométricas). Considere um triângulo retângulo qualquer em que marcamos um de seus ângulos agudos (α). Os catetos agora podem ser diferenciados em cateto posto ao ângulo α e cateto adjacente ao ângulo α.

Com base nesses conceitos, podemos definir as três principais razões trigonométricas: o seno (sen), o cosseno (cos) e tangente (tg):

Ainda é extremamente importante conhecer a tabela a seguir que apresenta os valores dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º).

Essas relações são bastante utilizadas em situações em que conhecemos um lado e um ângulo de um triângulo retângulo. Por exemplo:

Observe que, no triângulo retângulo em questão, desejamos descobrir o valor da hipotenusa e conhecemos o valor do cateto oposto ao ângulo de 30º. Portanto, a relação utilizada deverá ser o seno, pois é quem relaciona cateto oposto com a hipotenusa. Assim:

Consultando a tabela de valores notáveis, vemos que sen 30º = 1/2. Logo:

São muitas as situações que podemos utilizar as duas ferramentas comentadas hoje: o teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Agora é só por a mão na massa e resolver os exercícios de nossa plataforma. Fiquem bem, bons estudos e que a força esteja com vocês!!!